Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA在x=5π12处取得

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA在x=5π12处取得最大值．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值；（Ⅱ）若sinB+sinC=13314，a=7，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2cosx（sinxsinA-cosxcosA）+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A）．
∵f（x）在x=

5π

12

处取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

（k∈Z），即A=

π

3

-2kπ（k∈Z），
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-A∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-A）≤1，
∴函数f（x）的最小值为-

3

2

．
（2）由正弦定理得sinB+sinC=

bsinA

a

+

csinA

a

=

b+c

a

sinA，
∴

b+c

7

×

3

2

=

13 3

14

，
∴b+c=13，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，