Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）有极值，求实数a的取值范围和函数f（x）的值域；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（l，e），?x0∈（l，e），使得g（x0）=f（x1）成立．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝a+

1

x

＝0（1分）
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，∴f′(2)＝a+

1

2

＝1（2分）
∴a＝

1

2

（3分）
（Ⅱ）由f′(x)＝a+

1

x

＝0，可得a＝?

1

x

∵x∈（1，e）
∴?

1

x

∈(?1，?

1

e

)
∴a∈(?1，?

1

e

)（5分）
经检验a∈(?1，?

1

e

)时，f（x）有极值．
∴实数a的取值范围为(?1，?

1

e

)．（6分）
列表

f（x）的极大值为f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤

1

1?e

又∵?1＜

1

1?e

＜?

1

e

（8分）
∴当?1＜a≤

1

1?e

时，函数f（x）的值域为(ae+1，?1+ln(?

1

a

)]（9分）
当

1

1?e

＜a＜?

1

e

时，函数f（x）的值域为(a，?1+ln(?

1

a

)]．（10分）
（Ⅲ）证明：∵当x∈（1，e）时，g'（x）=3x²-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2∴g（x）在（1，e）的值域为（-2，e³-e-2）（12分）
∵e³-e-2＞?1+ln(?

1

a

)，-2＜ae+1，-2＜a
∴(ae+1，?1+ln(?

1

a

)]?（-2，e³-e-2），(a，?1+ln(?

1

a

)]?（-2，e³-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．（14分）