Question

已知数列{an} 满足：a1=2，an+1=2（1+1n）2an（n∈N+）．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）设bn=（An2+B

已知数列{an} 满足：a1=2，an+1=2（1+1n）2an（n∈N+）．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）设bn=（An2+Bn+C）?2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N+都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由；（3）求证：a1+a2+…+an＜（n2-2n+2）?2n+2．

Answer 1

（1）由已知an+1＝2(

n+1

n

)2?an，得

an+1

(n+1)2

=2?

an

n2

，
则数列{

an

n2

}是公比为2的等比数列．
又a₁=2，所以

an

n2

=2ⁿ，即an＝2n?n2．
（2）∵b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]?2ⁿ．
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则

A＝1 4A+B＝0 2A+2B+C＝0

，
解得

A＝1 B＝?4 C＝6

，
故存在常数A，B，C，满足条件．
（3）由（2）知：bn＝(n2?4n+6)?2n，a_n=b_n+1-b_n，
∴a₁+a₂+…+a_n=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n+1-b_n）=b_n+1-b₁
=（n²-2n+3）?2ⁿ⁺¹-6＜（n²-2n+3）?2ⁿ⁺¹=（

n2

2

-n+

3

2

）?2ⁿ⁺²
=[（n2?2n+2)?

(n?1)2

2

-

(n?1)2

2

]?2ⁿ⁺²≤（n²-2n+2）?2ⁿ⁺²．