Question

设函数f(x)=ax^2+bX+c,且f(1)=-a/2，3a>2c>2b，求证：函数f(x)在（0,2）内至少有一个零点

Answer 1

实际上是找一个区间[x,y]
f(x)f(y)<0也就是f(x)f(y)异号

不难知道
f(1)=-a/2=a+b+c
f(2)=4a+2b+c=2a+2(a+b+c)-c=2a-a-c=a-c

f(0)=c
f(1)=-a/2
f(2)=a-c

因为3a>2c
2(a-c)>-a
(a-c)>-a/2

所以f(2)>f(1)

分情况讨论
a>0,c>0, f(0)和f(1)异号，有解

a>0,c<=0，f(1)和f(2)异号，有解
a=0，1就是解
a<0,则由3a>2c，c必小于0，此时f(0)和f(1)异号，因此有解