Question

如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4与 x 轴的两个交点分别为 A （－4，0）、 B （2，0），与 y 轴交于

如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4与 x 轴的两个交点分别为 A （－4，0）、 B （2，0），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ． E （1，2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别交于 F 、 G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H ，使△ CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，△ EFK 的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1）    顶点 D 的坐标为（－1， ） （2） H （ ， ） （3） K （－ ， ）

（1）由题意，得  解得 ， b =－1． 所以抛物线的解析式为 ，顶点 D 的坐标为（－1， ）． （2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ．因为 EF 垂直平分 BC ，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B ，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H ，使 DH + CH 最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD = ．而 ． ∴△ CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH = ． 设直线 BD 的解析式为 y = k 1 x + b ，则   解得 ， b 1 = 3． 所以直线 BD 的解析式为 y = x + 3． 由于 BC = 2 ， CE = BC ∕2 = ，Rt△ CEG ∽△ COB ， 得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5， GO = 1.5． G （0，1.5）． 同理可求得直线 EF 的解析式为 y = x + ． 联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使△ CDH 的周长最小的点 H （ ， ）． （3）设 K （ t ， ）， x F ＜ t ＜ x E ．过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N ． 则 KN = y K － y N = －（ t + ）= ． 所以 S △ EFK = S △ KFN + S △ KNE = KN （ t + 3）+ KN （1－ t ）= 2 KN = － t 2 －3 t + 5 =－（ t + ） 2 + ． 即当 t =－ 时，△ EFK 的面积最大，最大面积为 ，此时 K （－ ， ）．