Question

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°。 （1）直线BD是否与⊙O相切

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°。 （1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？（2）连接CD，若CD=5，求AB的长。

Answer 1

解：（1）直线BD与⊙O相切；理由如下： 如图，连接OD， ∵∠DAB和∠DOC分别是弧CD所对的圆周角和圆心角， ∴∠DOC=2∠DAB=2×30°=60°， ∴∠ODB=180°-∠DOC-∠B=180°-60°-30°=90°，即OD⊥BD， ∴直线BD与⊙O相切； （2）∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD， ∴△DOB是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5， 又∵∠B=30°，∠ODB=90°， ∴OB=2OD=10， ∴AB=OA+OB=5+10=15。