Question

如图1，已知抛物线y=－x 2 +bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C. (1) 求b，c的值。(2)

如图1，已知抛物线y=－x 2 +bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C. (1) 求b，c的值。(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由. (3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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Answer 1

(1) ；（2）点P坐标为( ， )， 最大＝ ；（3）  ( ， )  .

试题分析：(1)将A、B两点坐标代入 即可求出 ； (2)假设存在一点P（x， ），则△PBC的面积可表示为 .从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标； (3)根据题意易证 ，所以 ，当OE最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上, 所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此 E( ， )  . 试题解析：(1)  b=－2，c=" 3" (2)存在。理由如下： 设P点 ∵ 当 时，   ∴ 最大＝   当 时， ∴点P坐标为( ， ) (3)∵ ∴ ,而 , , ∴ , ∴   ∴   ∴当 最小时， 面积取得最小值. ∵点 在线段 上,  ∴当 时， 最小. 此时点E是BC中点 ∴  ( ， ).