Question

三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。 （１）证明：平面PAB⊥平面PBC；（２）若PA= ，PC与侧面APB所成

三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。 （１）证明：平面PAB⊥平面PBC；（２）若PA= ，PC与侧面APB所成角的余弦值为 ，PB与底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

Answer 1

三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。 （１）证明：平面PAB⊥平面PBC； （２）若PA= ，PC与侧面APB所成角的余弦值为 ，PB与底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

（1）证明详见解析；（2）60°

试题分析：（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC；（2）过A作 则ÐEFA为所求.然后求出AB= ,PB=2 ,PC=3及AE,AF，在Rt AEF中求解即可. 试题解析： (1)证明：∵PA^面ABC,PA^BC,   ∵AB^BC,且PA∩AB=A,BC^面PAB 而BCÌ面PBC中,面PAB^面PBC. ……5分 (2)过A作 则ÐEFA为B?PC?A的二面角的平面角     8分 由PA= ,在RtDPBC中,cosÐCPB= . RtDPAB中,ÐPBA=60°. AB= ,PB=2 ,PC=3  AE=  = 同理：AF=          10分 ∴sin = = ,        11分 ∴ =60°.          12分 另解：向量法：由题可知：AB= ,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系        7分 B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, ,0),P(0, , ),假设平面BPC的法向量为 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ), ∴ 取z 1 = ，可得平面BPC法向量为 =(0,?3 , )      9分 同理PCA的法向量为 =(2,? ,0)              11分 ∴cos< , >= = , 所求的角为60°         12分