Question

在四边形ABCD中，角ADC=90度，AC=CB，E和F分别是AC和AB的中点，且 角DEA=角ACB=45度，BG垂直于AC于G

在四边形ABCD中，角ADC=90度，AC=CB，E和F分别是AC和AB的中点，且
角DEA=角ACB=45度，BG垂直于AC于G

（1）求证：四边形AFGD是菱形
（2)若AC=CB=10cm，求菱形的面积

Answer 1

证明：连接CF，

∵CB=AC，

∴CF垂直平分AB，∠ACF=1/2∠ACB=22.5°

∵∠BGA=90°，GF是中线，

∴GF=1/2AB=AF，∠BAC=∠AGF。

 同理，∠ADC=90°，DE为中线，

∴∠ACD=1/2∠DEA=22.5°

∴∠CAB=67.5°，∠CAB=67.5°，

∵∠DAC=∠AGF，

∴AD∥GF

又∵∠ACD=∠ACF=22.5°，即AC是∠DCF的平分线，

而AD⊥CD，AF⊥CF，

∴AD=AF

 ∵AD∥GF，AD=AF=GF，

∴四边形AFGD是平行四边形，

又∵邻边AD=AF，

故四边形AFGD是菱形。

2、∵BF=AF=DG

且BF∥DG

∴BFDG是平行四边形

∴DF=BG

∵在Rt△BCG中

∠ACB=∠GCB=45°

∴BG=CG=√2/2BC=5√2(BG²+CG²=BC²)

∴DF=5√2

AG=AC-CG=10-5√2

∴S菱形AFGD

=1/2DF×AG

=1/2×5√2×(10-5√2)

=25√2-25

Answer 2

1）证明：连接CF，因为CB=AC，所以CF垂直平分AB，∠ACF=1/2∠ACB=22.5°

因为∠BGA=90°，GF是中线，所以GF=1/2AB=AF，∠BAC=∠AGF。

同理，∠ADC=90°，DE为中线，所以∠ACD=1/2∠DEA=22.5°

所以∠CAB=67.5°，∠CAB=67.5°，因为∠DAC=∠AGF，所以AD∥GF

又因为∠ACD=∠ACF=22.5°，即AC是∠DCF的平分线，而AD⊥CD，AF⊥CF，所以AD=AF

AD∥GF，AD=AF=GF，所以四边形AFGD是平行四边形，又邻边AD=AF，故是菱形。

2 ）AC=CB=10，则AD=10sin22.5°，菱形∠DAF=67.5°*2=135°

故∠DFG=45°。

过G作AD边上的高，交AD于T，所以GT=DE*sin45°

故S=10*sin22.5°*10*sin45°

=25*√(4-2√2）