Question

如图所示，四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱A 1 A⊥底面ABCD，AB ∥ DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA 1 =AB=

如图所示，四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱A 1 A⊥底面ABCD，AB ∥ DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA 1 =AB=2，E为棱AA 1 的中点．（1）证明：B 1 C 1 ⊥CE；（2）设点M在线段C 1 E上，且直线AM与平面ADD 1 A 1 所成角的正弦值为 2 6 ．求线段AM的长．

Answer 1

（1）证明：因为侧棱CC 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ，B 1 C 1 ?平面A 1 B 1 C 1 D 1 ， 所以CC 1 ⊥B 1 C 1 ． 因为AD=CD=1，AA 1 =AB=2，E为棱AA 1 的中点， 所以B 1 E= 5 ，B 1 C 1 = 2 ，EC 1 = 3 ， 从而B 1 E 2 =B 1 C 21 +EC 21 ， 所以在△B 1 EC 1 中，B 1 C 1 ⊥C 1 E． 又CC 1 ，C 1 E?平面CC 1 E，CC 1 ∩C 1 E=C 1 ， 所以B 1 C 1 ⊥平面CC 1 E， 又CE?平面CC 1 E，故B 1 C 1 ⊥CE． （2）连结D 1 E，过点M作MH⊥ED 1 于点H，可得MH⊥平面ADD 1 A 1 ， 连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD 1 A 1 所成的角． 设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH= 2 6 x，AH= 34 6 x． 在Rt△C 1 D 1 E中，C 1 D 1 =1，ED 1 = 2 ，得EH= 2 MH= 1 3 x． 在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH 2 =AE 2 +EH 2 -2AE?EHcos135°，得 17 18 x 2 =1+ 1 9 x 2 + 2 3 x． 整理得5x 2 -2 2 x-6=0，解得x= 2 （负值舍去）， 所以线段AM的长为 2 ．