Question

设函数f（x）=mx2-mx-6+m．（1）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于m∈[

设函数f（x）=mx2-mx-6+m．（1）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6．
∵当x∈[1，3]时，x²-x+1∈[1，7]，∴不等式f（x）＜0等价于m＜

6

x2?x+1

．
∵当x=3时，

6

x2?x+1

的最小值为

6

7

，
∴若要不等式m＜

6

x2?x+1

恒成立，则必须m＜

6

7

，
因此，实数m的取值范围为（-∞，

6

7

）．
（2）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6，则g（m）是关于m的一次函数．
因此若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
则

g(?2)＝?2(x 2?x+1)?6＜0 g(2)＝2(x 2?x+1)?6＜0

，解之得-1＜x＜2，
即实数x的取值范围为（-1，2）．