Question

（2013?鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三

（2013?鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，
∴△AED≌△DFA（SAS），
∴AF=DE；

（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，
∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，
∴AB=

2

BH=

2

AH，
同理：CD=

2

CK=

2

KD，
∵S梯形ABCD=

(AD+BC)?HB

2

，AB=a，
∴S梯形ABCD=

( 2 a 2 ×2+2BC)? 2 a 2

2

=

a 2+ 2 aBC

2

，
而S△ABE=S△DCF=

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