Question

（2012?黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式

（2012?黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

3k+b＝0 b＝3

，
解得

k＝?1 b＝3

；
故直线BC的解析式：y=-x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，-m+3）、N（m，-m²+2m+3）；
∴故MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；
∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN（OD+DB）=

1

2

MN?OB，
∴S_△BNC=

1

2

（-m²+3m）?3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

（0＜m＜3）；
∴当m=

3

2

时，△BNC的面积最大，最大值为

27

8

．