Question

（2014?红桥区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P、Q，

（2014?红桥区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P、Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ＝25．（Ⅰ）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（Ⅱ）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，t为何值时，PQ∥AF？

Answer 1

（1）t=2时，OP=2×2=4，CQ=2×1=2，
∵矩形AOCD的∠OCD=90°，
∴PC=

PQ2?CQ2

=

(2 5 )2?22

=4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵A（0，4），
∴OA=4，
∴点D的坐标为（8，4），
点P运动到点C的时间为：8÷2=4秒，
点Q运动到点D的时间为：4÷1=4秒，
∵点P、Q同时出发，同时停止，
∴0＜t＜4；

（2）△AEF的面积S不变，为32．
理由如下：∵点Q的速度是每秒1个单位长度，
∴CQ=t，DQ=4-t，
∵AD∥x轴，
∴△ADQ∽△ECQ，
∴

AD

CE

=

DQ

CQ

，
即

8

CE

=

4?t

t

，
解得CE=

8t

4?t

，
∵AF是AE沿AD翻折得到，
∴AF=AQ，
∵AD⊥CD，
∴QF=2DQ=2（4-t），
∴S_△AEF=S_△AQF+S_△EFQ，
=

1

2

QF?AD+

1

2

QF?CE，
=

1

2

QF（AD+CE），
=

1

2

×2（4-t）×（8+

8t

4?t

），
=32-8t+8t，
=32是定值，
∴△AEF的面积S不变，为32；

（3）由翻折的性质AF=AQ，
∴∠AQF=∠AFQ，
∵PQ∥AF，
∴∠AFQ=∠PQC，
∴∠AQF=∠PQC，
又∵∠ADQ=∠PCQ=90°，
∴△ADQ∽△PCQ，
∴

AD

PC

=

DQ

CQ

，
即

8

8?2t

=

4?t

t

，
整理得，t²-12t+16=0，
解得t₁=6+2

5

，t₂=6-2

5

，
∵0＜t＜4，
∴t为6-2

5

时，PQ∥AF．