Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足 AB ? AP =6|

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足 AB ? AP =6| PB | ．（1）求点P的轨迹C的方程．（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．

Answer 1

（1）设P（x，y），则 AB =(-3，0) ， AP =(x-4，y) ， PB =(1-x，-y) ， 因为 AB ? AP =6| PB | ，所以 -3(x-4)=6 (x-1) 2 + y 2 ， 化简整理得点P的轨迹C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （2）设M（x 1 ，y 1 ）、N（x 2 ，y 2 ），由C的对称性，得P（-x 1 ，-y 1 ）、Q（-x 2 ，-y 2 ）， 因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ， MP ? NQ =0 ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， 由 x 2 4 + y 2 3 =1 y=x+b 得7x 2 +8bx+（4b 2 -12）=0， x 1 + x 2 =- 8b 7 ， x 1 x 2 = 4 b 2 -12 7 x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 1 x 2 +( x 1 +b)( x 2 +b)=2 x 1 x 2 +b( x 1 + x 2 )+ b 2 = b 2 - 24 7 =0 ， 检验知，此时 △=(8b ) 2 -4×7×(4 b 2 -12)=336-48 b 2 = 1200 7 ＞0 ， 所以 b= 2 42 7 ．