Question

多元函数的极值

做一个容积为9/2 m^3的长方形箱子，巷子的盖及侧面的造价为每平米8元，箱底每平米1元，求造价最低的箱子的尺寸。

Answer 1

解：设：长方形箱子的长、宽高分别为：X,Y,Z,意造价为u
根据题意：u=xy+8xy+2yz*8+2xz*8
=9xy+16yz+16xz..........(1)
xyz=9/2 即 xyz-9/2=0........(2)
由（1），(2) 构建一个新的函数： F=u+k(xyz-9/2) (k为比例系数）
F=9xy+16yz+16xz+k(xyz-9/2),对F分别求x,y,z求偏导数
aF/ax=9y+16z+kyz=0......(3)
aF/ay=9x+16z+kxz=0......(4)
aF/az=16y+16z+kxy=0....(5)
由（3）得：9y+16z=-kyz.....(6)
由（4）得：9x+16z=-kxz.....(7)
(6)/(7) 得：x=y
由：（4），（5）同理得 9y=16z
代入（2）x=y=2 z=9/8
故：最低造价箱子的尺寸长、宽、高分别为2，2，9/8.