Question

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值步骤尽量详细些

Answer 1

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值，解：令∂f/∂x=3x²+2y=0.............①再令∂f/∂y=2x-3y²=0..................②由②得x=(3/2)y²；代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0，故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。

再求两驻点处的二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x； B=∂²f/∂x∂y=2； C=∂²f/∂y²=-6y；M(0，0): A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；N(-2/3，2/3): A=-4<0； B=2； C=-4； B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27

扩展资料

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

参考资料来源：百度百科-多元函数

Answer 2

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值
解：令∂f/∂x=3x²+2y=0.............①
再令∂f/∂y=2x-3y²=0..................②
由②得x=(3/2)y²；代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0
故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；
即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。再求两驻点处的二阶导数：
A=∂²f/∂x²=6x； B=∂²f/∂x∂y=2； C=∂²f/∂y²=-6y；
M(0，0): A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；
N(-2/3，2/3): A=-4<0； B=2； C=-4； B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。
极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27