立体几何数学问题 150
郭敦顒回答：
（1）求证DE垂直于PA
∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,△PAB为等边三角形，
为计算上的方便，不妨设AB=2，
∴AD=AB=PB=PA=2。
P-AB-C的角为平面CDAB与平面PAB的夹角，
取AB中点G；连PG，则PG⊥AB，∵PA=2，AG=1，∴PG=√3
作PO⊥平面ABCD于O，连OG，则OG⊥AB，∴∠PGO是是二面角P-AB-C的平面角，
∵P-AB-C的角的余弦值为（√3）/3，
∴cos∠PGO=（√3）/3=OG/PG=OG/√3，OG/√3=（√3）/3
∴OG=1，
∴O是正方形ABCD对角线的交点，
∴四棱锥P-ABCD的4个侧面均为等边三角形，
∵E为等边三角形PDAG一边PA中点
∴DE垂直于PA。
（2）求异面直线DE与AF的夹角的余弦值
过E作EK∥AF交PB于K，则∠DFK就是异面直线DE与AF的夹角。连DK，则
EK=AF/2=（√3）/2，PK=PB/4=0.5。
在Rt⊿POG中PG=√3，OG=1，∴PO=√2，
O是正方形ABCD对角线的交点，∴DO=√2，
∴在△PDB中，∠PDO=∠PBO=45°，∠DPB=90°，
DK在平面PDB上，DK=√（2²+0.5²）=2.06155
在△DEK中，DE=√3，EK=（√3）/2，DK=2.06155，
用余弦定理求，∠DFK为钝角，它的的对边是DK，
cos∠DFK={（√3）² +[（√3）/2]²－2.06155²}/[2×√3×（√3）/2]
=－0.5/3=－1/6，
异面直线DE与AF的夹角的余弦值是－1/6。
P
K
F
D
E B
O
G
D
A
(1)设正方形ABCD的边长为2，
AB,CD的中点分别是G,H,连PG,GH,则GH⊥AB,
△PAB为等边三角形,
∴PG⊥AB,
∴平面PGH⊥底面ABCD,∠PGH是二面角P-AB-C的平面角，
cosPGH=1/√3，PG=√3，GH=2，
∴PH^=3+4-4=3，
∴PH=√3=PG,
作PO⊥GH于O,则PO⊥底面ABCD,O是正方形的中心，
∴四棱锥P-ABCD是正四棱锥，
∴四个侧面都是等边三角形，
E是PA的中点，
∴DE⊥PA.
(2)连FH,F是PB的中点，
∴EF∥=AG∥=DH,
∴FH∥=ED=√3=AF,AH=√5，
∴异面直线DE与AF的夹角AFH的余弦值=(3+3-5)/6=1/6.
∴AB=2，AE=1，
BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3，
∴AE2+BE2=1+3=4=AB2，
∴BE⊥AE，
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴BE⊥平面PAD．
解：由(Ⅰ)知，BC⊥BE，PE⊥BC，
又PE，BE是平面PBE内两相交直线，
∴BC⊥平面PBE，又由(Ⅱ)知，HF∥BC，
∴FH⊥平面PBE，
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，
易知，，
在Rt△PEB中，，
∴，∴，
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为。
