Question

已知函数f（x）=lnxx+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．（Ⅰ）证明函数y=f

已知函数f（x）=lnxx+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．（Ⅰ）证明函数y=f（x）在区间（1，e）存在最大值；（Ⅱ）记函数g（x）=xf（x）+c，若g（x）≤0，对一切x∈（0，+∞），b∈(0，32)恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由f（x）=

lnx

x

+ax+b，得
f′(x)＝

1?lnx

x2

+a．
由函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l平行，且l得斜率为

1

2

，
∴f′(1)＝

1

2

，即1+a=

1

2

，∴a=-

1

2

．
∴f′(x)＝

1?lnx

x2

?

1

2

＝

2?2lnx?x2

2x2

，
∵f′(1)＝

1

2

＞0，f′(e)＝?

1

2

＜0，
y=2-2lnx-x²在（1，e）上单调递减，
∴f′（x）在区间（1，e）存在一个零点，设为x₀，
则x₀∈（1，e），且f′（x₀）=0．
当x∈（1，x₀）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（x₀，e）上单调递减．
∴当x=x₀时，函数f（x）取得最大值．
故函数f（x）在区间（1，e）上存在最大值；
（Ⅱ）解：由g（x）=xf（x）+c=lnx?

1

2

x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤

1

2

x2?bx?lnx．
记h1(x)＝

1

2

x2?bx?lnx(x＞0)，则c=[h₁（x）]_min．
h1′(x)＝x?b?

1

x

，令h1′(x)＝0，得x²-bx-1=0．
∴x＝

?b± b2+4

2

．
∵b∈(0，

3

2

)，x1＝