Question

（2014?兰州）如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已

（2014?兰州）如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

2

x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：

m＝ 3 2 n＝2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴抛物线的对称轴是x=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=

5

2

．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
作CH⊥x对称轴于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（

3

2

，4），P₂（

3

2

，

5

2

），P₃（

3

2

，-

5

2

）；

（3）当y=0时，0=-

1

2

x²+

3

2

x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2＝b 0＝4k+b

，
解得：

k＝? 1 2 b＝2

，
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-

1

2

a+2），F（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），
∴EF=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=

1

2

BD?OC+

1

2

EF?CM+

1

2

EF?BN，
=

1

2

×

5

2

×2+

1

2

a（-

1

2

a²+2a）+

1

2

（4-a）（-

1

2

a²+2a），
=-a²+4a+

5

2

（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+

13

2

∴a=2时，S_{四边形CDBF的面积最大}=

13

2

，
∴E（2，1）．