Question

过椭圆中心的一条弦，与椭圆交与两点，椭圆上一点与这两个交点连线的斜率积，如何证等于负的a^2分之b^2

用一般方法做（不用特殊）

Answer 1

分析：以椭圆中心为原点，对称轴为正方向，建立平面直角坐标系。
已知：椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1；
过原点的直线交椭圆于M、N两点；
点P为椭圆上除M、N外的任意一点；
PM、PN的斜率分别为k1、k2。
求证：k1·k2=-b²/a²。
证明：令P(x，y)，再由对称性可令M(m， n)，N(-m，-n)，由P异于M、N可知x²-m²≠0，于是
k1·k2=(y-n)/(x-m) · (y+n)/(x+m)=(y²-n²)/(x²-m²) ①
P、M、N在椭圆上，于是
b²x²+a²y²=a²b²=b²m²+a²n²
a²y²-a²n²=b²m²-b²x²
(y²-n²)/(x²-m²) =-b²/a² ②

由①②得k1·k2=-b²/a²