Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB1=3，M、N分别是B1C1和AC的中点．

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB1=3，M、N分别是B1C1和AC的中点．（1）求异面直线AB1与C1N所成的角；（2）求三棱锥M-C1CN的体积．

Answer 1

解：（1）平面AA1C1C中，过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q
∴∠B1AQ（或其补角）就是异面直线AB1与C1N所成的角
矩形AA1C1C中，N是AC中点，可得Q是A1C1中点
Rt△AA1B1中，AB1= AA12+A1B12 =5，同理可得AQ= 17
∵等腰Rt△A1B1C1中，B1Q是斜边的中线
∴B1Q= 2 2 A1B1=2 2 ，
△B1AQ中，cos∠B1AQ=25+17-8 2×5× 17 = 17 5 ＞0
∴∠B1AQ=arccos 17 5 ，即异面直线AB1与C1N所成的角等于arccos 17 5 ；
（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊆平面AA1C1C
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，
∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1=A1C1，MH⊥A1C1，
∴MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M-C1CN的高线
∵△B1C1Q中，M是B1C1中点，MH∥B1Q
∴MH是△B1C1Q的中位线，得MH=1 2 B1Q= 2
∵△C1CN的面积S=1 2 CN×C1C=1 2 ×2 2 ×3=3 2
∴三棱锥M-C1CN的体积VM-C1CN=1 3 SC1CN×MH=1 3 ×3 2 × 2 =2