Question

函数f（x)=x^2+3x|x-a|,其中a∈R， 设a≠0，函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值求m,n范围

要详细过程

Answer 1

函数f（x)=x^2+3x|x-a|,其中a∈R，设a≠0，函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值求m,n范围

解析：∵函数f(x)=x^2+3x|x-a|,其中a∈R，
写成分段函数：当x<a时，f(x)=-2x^2+3ax；当x>=a时，f(x)=4x^2-3ax
设a≠0
当x<a<0时，f(x)=-2x^2+3ax，为开口向下的抛物线，对称轴为x=3a/4>a
当x>=a时，f(x)=4x^2-3ax，为开口向上的抛物线，对称轴为x=3a/8>a
∴函数f(x)在x=a处取极大值；在x=3a/8处取极小值；
∵函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值
∴m<a，n>3a/8

当x>=a>0时，f(x)=4x^2-3ax，为开口向上的抛物线，对称轴为x=3a/8<a
当x<a时，f(x)=-2x^2+3ax，为开口向下的抛物线，对称轴为x=3a/4<a
∴函数f(x)在x=a处取极小值；在x=3a/4处取极大值；
∵函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值，
∴m<3a/4，n>a

综上，
当a<0时，函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值，m<a，n>3a/8
当a>0时，函数f（x）在开区间（m,n)上既有最大值又有最小值，m<3a/4，n>a

Answer 2