Question

可积不一定存在原函数 ，原函数存在不一定可积举个例子说明下

Answer 1

1. Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数, 即存在可导函数F(x), 使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导, 则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.

基于如上观察, 可以构造如下例子:
取f(x) = 0, 当0 ≤ x < 1/2, 取f(x) = 1, 当1/2 ≤ x ≤ 1.
f(x)在[0,1]上有界, 且只有一个间断点x = 1/2, 因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点, 因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt, 会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的, f(x) = F'(x)在该点不成立.

2. 原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件: 有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x ≠ 0处, 取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x), 则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0处, 取F(0) = 0, 则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)处处可导. 且对任意正整数k, F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3), 因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数, 但不是Riemann可积的(因为不是有界的).

实际上, 存在F(x)在R上处处可导, 导数有界, 但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).
构造比较复杂, 参考链接(只找到英文的): http://en.wikipedia.org/wiki/Volterra's_function

Answer 2

上面的兄弟写错了吧，结果应该是-(2kπ)^(-2/3)，少了一个负号，答案刚好相反，是0，所以不能证明你的结论，你能再举个对的例子吗？

Answer 3

叙述的有些问题：先看看黎曼积分的原函数的定义
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
可积一定存在原函数的，只是原函数不一定能写出具体的解析表达式来

反过来也一样 原函数若存在肯定是的可积