Question

复变函数的线积分什么时候与路径无关

如题，谢谢

Answer 1

请你查阅下教材上的柯西积分定理（或称柯西-古萨定理），里面明确说明：
（1）曲线C（积分路径）包含在区域D中，而函数在D内解析；
（2）曲线C是区域D的边界，函数在D和C上均解析；
（3）曲线C是区域D的边界，函数在D内解析，在C上连续；
符合以上3个条件之一，则积分与路径无关，只与C的起点和终点有关。

不过从教材的证明过程上，以上条件可以说是充分条件，是否是必要条件未予明确。

Answer 2

在区域内，复积分与路径无关与实函数的第二型曲线积分与路径无关的含义类似，也等价于沿区域内任意闭曲线的积分为零。复积分的值是否与路径无关，1.与被积函数的解析性有关；2.与使被积函数解析的区域是否单连通有关。