Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B与∠C的角平分线交于点O，过O点作MN ∥ BC，分别交AB，AC于M，N．（1）图中

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B与∠C的角平分线交于点O，过O点作MN ∥ BC，分别交AB，AC于M，N．（1）图中等腰三角形共有______个（已知的△ABC除外）（2）求证：△BMO是等腰三角形；（3）求证：MN=2BM．（4）△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC上的点，且AM=AN，O为MN的中点，则BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，这个结论对吗？请直接回答．

Answer 1

（1）△BOM，△CON，△BOC，△AMN，△ABC均为等腰三角形， 所以，除△ABC外还有4个； （2）证明：∵BO是∠ABC的平分线， ∴∠MBO=∠CBO， ∵MN ∥ BC， ∴∠CBO=∠MOB， ∴∠MBO=∠MOB， ∴△BMO是等腰三角形； （3）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵MN ∥ BC， ∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB， ∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN， ∴AB-AM=AC-AN， 即BM=CN， 根据（2）△BMO是等腰三角形， ∴BM=OM， 同理可得CN=ON， ∴MN=OM+ON=BM+CN=2BM； （4）结论不正确； ∵O为MN中点， ∴OM=ON， 又∵MN ∥ BC， ∴∠BMO=∠CNO，BM=CN， 在△BOM和△CON中， OM=ON ∠BMO=∠CNO BM=CN ， ∴△BOM≌△CON（SAS）， ∴∠OBM=∠OCN， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠OBC=∠OCB， 但不能肯定∠OBM=∠OBC， 即不能确定其为角平分线． ∴此问结论不正确．