某生态园要对一块边长为1km的正方形区域ABCD进行规划，设计了如图所示的三条参观路线．具体设计方案如下
某生态园要对一块边长为1km的正方形区域ABCD进行规划，设计了如图所示的三条参观路线．具体设计方案如下：从A出发到达BC边上的P点，然后从P点出发到达CD边上的Q点，再...
某生态园要对一块边长为1km的正方形区域ABCD进行规划，设计了如图所示的三条参观路线．具体设计方案如下：从A出发到达BC边上的P点，然后从P点出发到达CD边上的Q点，再直接回到A点，其中要求∠PAQ=45°，设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示路径AQ的长度；（2）将△APQ的面积表示为t的函数f（t），并注明其定义域；（3）欲使△APQ的面积最小，应如何确定点P的位置．
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（1）因为tanθ=t，则0≤t≤1，又tanθ=
＝BP＝t，所以BP=t，CP=1-t．
因为∠PAQ=45°，∠PAB=θ，所以∠DAQ=90°-45°-θ=45°-θ，
因为tan∠DAQ=DQ，所以DQ=tan∠DAQ=tan（45°-θ）=
，
所以AQ=
＝
＝
．
（2）△APQ的面积表示为t的函数f（t）=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ，
因为CQ=1-DQ，所以CQ=1-
=
所以f（t）=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1-(
?
+
(1?t)?
+
?t)=1+
?
，（0≤t≤1）．
（3）因为f（t）=1+
?
=1+
?
=1+
[(t+1)+
?4]，
所以由基本不等式得f（t）=1+
| BP |
| AB |
因为∠PAQ=45°，∠PAB=θ，所以∠DAQ=90°-45°-θ=45°-θ，
因为tan∠DAQ=DQ，所以DQ=tan∠DAQ=tan（45°-θ）=
| 1?t |
| 1+t |
所以AQ=
| AD2+DQ2 |
1+(
|
| ||
| 1+t |
（2）△APQ的面积表示为t的函数f（t）=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ，
因为CQ=1-DQ，所以CQ=1-
| 1?t |
| 1+t |
| 2t |
| 1+t |
所以f（t）=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1-(
| 1 |
| 2 |
| 1?t |
| 1+t |
| 1 |
| 2 |
| 2t |
| 1+t |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| t2?2t?1 |
| 1+t |
（3）因为f（t）=1+
| 1 |
| 2 |
| t2?2t?1 |
| 1+t |
| 1 |
| 2 |
| (t+1)2?4(t+1)+2 |
| 1+t |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 1+t |
所以由基本不等式得f（t）=1+
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