Question

（2014?秀屿区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，

（2014?秀屿区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：OD∥AC；（2）当AB=10，cos∠ABC=55时，求AF及BE的长．

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，

（2）连接AD，
∵AB为直径，
∴AB⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵AB=10，cos∠ABC=

5

5

，
∴BD=AB?cos∠ABC=2

5

，
∴AD=4

5

，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵AC∥OD，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，
∴△ADC∽△AFD，
∴

AD

AF

＝

AC

AD

，
∴

4 5

AF

＝

10

4 5

，
∴AF=8，
∵OD∥AF，
∴

EO

EA

＝

OD

AF

，
∴

BE+5

BE+10

＝

5

8

，
∴BE=

10

3

．