Question

已知F（x）=∫x0(t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值

已知F（x）=∫x0(t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

依题意得，F(x)=

∫

x 0

(t2+2t-8)dt=(

1

3

t3+t2-8t)

|

x 0

=

1

3

x3+x2-8x，
定义域是（0，+∞）．（2分）
（1）F'（x）=x²+2x-8，
令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4； 令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，
且函数定义域是（0，+∞），
∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）
（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），
由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，
且F(1)=-

20

3

，F(2)=-

28

3

，F（3）=-6，
∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-

28

3

．（10分）