Question

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有an＞0，并且有Sn=a13+a23+a33+…+an3（1）求a2，a3的值；

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有an＞0，并且有Sn=a13+a23+a33+…+an3（1）求a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）设数列{bn}，其中 bn=1an2，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜74．

Answer 1

解答：（1）解：在S_n=

a13+a23+a33+…+an3

中，
当n=1时，a1＝S1＝

a13

，即a12=a13，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
当n=2时，（a1+a2）2=a12+a23，即1+2a2+a22=1+a23，
解得：a₂=-1或a₂=2．
∵a₂＞0，∴a₂=2；
当n=3时，(a1+a2+a3)2＝a13+a23+a33，
即(3+a3)2＝9+a33，解得：a₃=3；
（2）解：由S_n=

a13+a23+a33+…+an3

，得
a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n² ①，
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1² ②，
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n ③，
∵a₁=1适合上式．
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1 ④，
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n；
（3）证明：b_n=

1

an2

=

1

n2

，
则Tn＝

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n?1)n

=1+

1

2

+

1

3

?

1

4

+

1

4

?

1

5

+…+

1

n?1

?

1

n

=

7

4

?

1

n

＜

7

4

．