Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b（2）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b（2）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（3）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即

3a+2b?3＝0 3a?2b?3＝0.

解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（3）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y0＝

x

3 0

?3x0．
因f′(x0)＝3(

x

2 0

?1)，故切线的方程为y?y0＝3(

x

2 0

?1)(x?x0)
注意到点A（0，16）在切线上，有16?(

x

3 0

?3x0)＝3(

x

2 0

?1)(0?x0)化简得

x

3 0

＝?8，解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．