Question

设函数f（x）=mx2-mx-1（m∈R）．（Ⅰ）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x

设函数f（x）=mx2-mx-1（m∈R）．（Ⅰ）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）①当m=0时，-1＜0恒成立，∴m=0；
②当m≠0时，
∵f（x）＜0对一切实数x恒成立，
∴

m＜0 △＝m2+4m＜0

，解得，-4＜m＜0，
综合①②，m的取值范围为（-4，0]．
（Ⅱ）∵f（x）=mx²-mx-1，
∴f（x）＜-m+5对于x∈[-2，2]恒成立，即m（x²-x+1）＜6对于x∈[-2，2]恒成立，
∵x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＜

6

x2?x+1

对于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（

6

x2?x+1

）_min，
∵y=

6

x2?x+1

=

6

(x? 1 2 )2+ 3 4

，
∴当x=-2，（

6

x2?x+1

）_min=

6

7

，
∴m＜

6

7

．
故m的取值范围为（-∞，

6

7

）．