Question

若正项级数∑(n从1到∞)an收敛，证明∑(n从1到∞)an^2也收敛，但反之则不然，举例证明

Answer 1

由∑a[n]收敛, 有lim{n→∞} a[n]²/a[n] = lim{n→∞} a[n] = 0.
而∑a[n], 与∑a[n]²都是正项级数.
根据比较判别法, 可由∑a[n]收敛得到∑a[n]²收敛.

反过来, 对a[n] = 1/n, 有a[n]² = 1/n².
级数∑a[n]²收敛但∑a[n]发散.
即逆命题不成立.

追问

如果题目没写正项级数呢

追答

不是正项级数的话有反例.
a[n] = (-1)^n/√n.
这是一个交错级数, 通项绝对值单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法∑a[n]收敛.
但是∑a[n]² = ∑1/n发散.

Answer 2

an^2<an, n^1.5收敛，n^0.75发散