Question

若正项级数∑(1到n)an收敛,则∑(1到n)根号an/n收敛，求证明。

Answer 1

正项级数∑(1到n)an收敛，所以lim an/an-1小于1，所以，lim根号下(an/n)/(an-1/n-1)=(an/an-1)*(n-1/n)小于1，所以，∑(1到n)根号an/n收敛。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0，存在一个正整数N，使得对于任意n>N，有|an-A|<b恒成立，就称数列{an}收敛于A（极限为A），即数列{an}为收敛数列。

扩展资料：

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。

函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。

这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)。

Answer 2

解：

正项级数∑(1到n)an收敛，所以lim an/an-1小于1，所以，lim根号下(an/n)/(an-1/n-1)=(an/an-1)*(n-1/n)小于1，所以，∑(1到n)根号an/n收敛。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0，存在一个正整数N，使得对于任意n>N，有|an-A|<b恒成立，就称数列{an}收敛于A（极限为A），即数列{an}为收敛数列。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

Answer 3

解题过程如下图：

扩展资料

迭代算法的敛散性

1.全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

Answer 4

收敛，所以lim an/an-1小于1
lim根号下(an/n)/(an-1/n-1)=(an/an-1)*(n-1/n)小于1，得证

Answer 5

希望对你有帮助

追问

不好意思，我写得不清楚，是（根号an）/n
还有，an收敛，也可能是a(n+1)\an=1这不严密

追答

追问

.....lim n/(n+1)*lim根号(a(n+1)/an) 前者=1，后者不确定，可能也是1，这样还是不行啊，不能排除1的情况啊

追答

为啥会等于1呢？
n/(n+1)<1的，那1乘以它也一定小于1的

追问

><极限没学好啊...是lim（n/n+1）不是n/n+1,虽然后者永远小于1，但是limn/(n+1)就是1

追答

不好意思啊，极限是有可能等于1的，方法没选对。

有问题继续追问。