Question

已知实数x，y满足不等式组 x+3y-3≥0 2x-y-3≤0 x-y+1≥0 ，则

已知实数x，y满足不等式组 x+3y-3≥0 2x-y-3≤0 x-y+1≥0 ，则 y-1 x+1 的取值范围是______．

Answer 1

设z= y-1 x+1 ，则z的几何意义为动点（x，y）到定点A（-1，1）斜率的取值范围， 作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 由图象可知过AC两点的斜率最大，过AB两点的斜率最小． 由 x-y+1=0 2x-y-3=0 ，解得 x=4 y=5 ，即C（4，5），此时过A，C的直线斜率k= 5-1 4-(-1) = 4 5 ． 由 x+3y-3=0 2x-y-3=0 ，解得 x= 12 7 y= 3 7 ，即B（ 12 7 ， 3 7 ），此时过A，B的直线斜率k= 3 7 -1 12 7 -(-1) = 3-7 12+7 =- 4 19 ． ∴ - 4 19 ≤z≤ 4 5 ， 即 y-1 x+1 的取值范围是[ - 4 19 ， 4 5 ]． 故答案为：[ - 4 19 ， 4 5 ]．