Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为______

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为______．

Answer 1

∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+

1

x

），
令g（x）=

1

2

（x+

1

x

），求导函数可得g′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

（x+

1

x

）＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此时满足△＞0，
故a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．
故答案为：（

5

4

，

5

3

）．