Question

如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖

如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C，D为圆轨道的最低点和最高点），且∠BOC=θ=37°，圆轨道直径d为0.4m．可视为质点质量m为0.1kg的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）：求（1）小滑块从某处静止开始下滑，求刚好能通过圆轨道最高点D的高度H；（2）若用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，请在如图乙中绘制出压力F与高度H的关系图象．（3）通过计算判断是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．

Answer 1

（1）刚好通过圆轨道最高点D时，
由牛顿第二定律得：mg=m

v2

R

，
由机械能守恒定律得：mg（H-2R）=

1

2

mv²，
联立解得：H＝

5

2

R＝0.5m
（2）滑块由从某高度处下滑到D的过程中，
由机械能守恒定律得：
mg（H-2R）=

1

2

mv_D²，
由牛顿第三定律得滑块在D点所受轨道支持力与滑块对轨道的压力等大反向，记为F，则
由牛顿第二定律得：F+mg=m

v 2 D

R

，
代入数据解得：F=

2mg

R

H-5mg=10H-5，
其图象如图所示．

（3）存在满足条件的H值．
设滑块在D点的速度为v时，恰能落到直轨道上与圆心等高处
竖直方向：R=

1

2

gt²，水平方向   x=vt，
由几何关系得：x=

R

sinθ

=

5

3

R，
代入数据解得：v=

5

3

 m/s，
物体恰好能过D点的速度大小：v₀=

gR

=

10×0.2

=

2

 m/s，
因为v＞v₀，所以存在满足条件的H值．
答：（1）小滑块从某处静止开始下滑，刚好能通过圆轨道最高点D的高度H为0.5m；
（2）压力F与高度H的关系图象如图所示．
（3）存在满足条件的H值．