（2011?温州二模）如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足为E，AE=3，CE=9，（1
（2011?温州二模）如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足为E，AE=3，CE=9，（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求二...
（2011?温州二模）如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足为E，AE=3，CE=9，（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
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解答：
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD
在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
设正方形ABCD的长为x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴x＝3
∴DE=6
过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH
∴∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角
在直角△ADE中，AD＝3
，AE＝3，DE＝6
∵AD?EF=AE?DE，∴EF＝
＝
，
∴DF＝
，∴FH＝
∴EH＝
在直角△DFH中，EF＝
，EH＝
，
∴sin∠FHE＝
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值为?
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
设正方形ABCD的长为x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴x＝3
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∴DE=6
过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH
∴∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角
在直角△ADE中，AD＝3
| 5 |
∵AD?EF=AE?DE，∴EF＝
| AE?DE |
| AD |
6
| ||
| 5 |
∴DF＝
| 12 | ||
|
6
| ||
|
∴EH＝
6
| ||
|
在直角△DFH中，EF＝
| 6 | ||
|
6
| ||
|
∴sin∠FHE＝
| ||
| 3 |
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值为?
| ||
| 3 |
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