Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-ax-x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义

已知函数f（x）=aln（x+1）-ax-x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+322+432+…+n+1n2．

Answer 1

（1）因为f′(x)＝

a

x+1

?a?2x，
令f'（1）=0，即

a

2

?a?2＝0，解得a=-4，
经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．
（2）f′(x)＝

a

x+1

?a?2x＝

?2x(x+ a+2 2 )

x+1

，
令f'（x）=0，得x=0，或x＝?

a+2

2

，又f（x）的定义域为（-1，+∞）
①当?

a+2

2

≤?1，即a≥0时，若x∈（-1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
②当?1＜?

a+2

2

＜0，即-2＜a＜0时，若x∈（-1，?

a+2

2

)，则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈(?

a+2

2

，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
③当?

a+2

2

＝0，即a=-2时，f'（x）≤0，f（x）在（-1，+∞）内递减，
④当?

a+2

2

＞0，即a＜-2时，若x∈（-1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，?

a+2

2

)，
则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈(?

a+2

2

，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，
∵

1

i

＞0，∴ln(1+

1

i

)＜

1

i

+

1

i2

＝

i+1

i2

，i=1，2，3，…，n，
∴ln2+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

，
∴ln(n+1)＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

．