Question

已知函数f（x）=x2-2alnx （a∈且a≠0）．（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求

已知函数f（x）=x2-2alnx （a∈且a≠0）．（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2?a)

x

，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
实数a的取值范围（-∞，0）．
（2）f′（x）=

2(x2?a)

x

，
①当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增，
∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1
②当a＞0时，f′（x）=

2(x2?a)

x

=

2(x+ a )(x? a )

x

，
函数f（x）在区间（0，

a

）上为减函数，在区间（

a

，+∞）上为增函数．
（i）当

a

≤1时，即0＜a≤1时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1，
（ii）当1＜

a

≤2即1＜a＜4时，函数在[1，

a

]上递减，在[

a

，2]上递增；
所以当x=

a

时f（x）有最小值，并且最小值为 a-alna；
（iii）当

a

＞2即4＜a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为4-2aln2．