Question

已知椭圆C:x2/9+y2/4=1上存在关于直线y=2x+m对称的两点

已知椭圆E：x^2/9+y^2/4=1,若椭圆E上存在两点A,B关于直线l：y=2x+m对称，求m的取值范围

Answer 1

解：设AB中点M为（x0,y0）,A(x1,y1),B(x2,y2)
x1^2/9+y1^2/4=1
x2^2/9+y2^2/4=1
(x1+x2)*(x1-x2)/9+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
2xo(x1-x2)/9+2yo(y1-y2)/4=0
所以AB的斜率k=-1/2=-4x0/9y0①
又因为中点M在直线上
带入得：y0=2x0+m②
联立①②可得：x0=9m/10，y0=4m/5
因为M必在圆内
所以x0²/9+y0²/4<1
所以9m²/100+4m²/25<1
所以m²<4
解得-2<m<2

追问

为什么k=-1/2=-4x0/9y0啊？

追答

2xo(x1-x2)/9+2yo(y1-y2)/4=0
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-4xo/9yo