Question

如图，抛物线E：y 2 =4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，

如图，抛物线E：y 2 =4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（I）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（II）若|AF| 2 =|AM|?|AN|，求圆C的半径．

Answer 1

（I）抛物线E：y 2 =4x的准线l：x=-1， 由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|= 5 ， ∴|MN|=2 |OC | 2 - d 2 = 2 5-4 =2． （II）设C（ y 20 4 ，y 0 ），则圆C的方程为（x- y 20 4 ） 2 +（y-y 0 ） 2 = y 40 16 + y 20 ， 即x 2 - y 20 2 x +y 2 -2y 0 y=0，由x=-1得y 2 -2y 0 y+1+ y 20 2 =0， 设M（-1，y 1 ），N（-1，y 2 ），则 △=4 y 20 -4(1+ y 20 2 )=2 y 20 -4＞0 y 1 y 2 = y 20 2 +1 ， 由|AF| 2 =|AM|?|AN|，得|y 1 y 2 |=4， ∴1+ y 20 2 =4，解得y 0 = ± 6 ，此时△＞0 ∴圆心C的坐标为（ 3 2 ， ± 6 ），|OC| 2 = 33 4 ， 从而|OC|= 33 2 ． 即圆C的半径为 33 2 ．