Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦.过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦.过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD. (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长.

Answer 1

（1）相切；证明见解析；（2） .

试题分析：（1）通过分析，直线与圆O已经有一个公共点，连接半径0C，只要证明OC⊥PC即可；（2）根据AD是切线和AD∥BC证明AP⊥BC，利用垂径定理计算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定义计算出AM的长，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程计算出圆O的半径的长，最后证明△OMC～△OCP，利用相似三角形的对应边成比例计算出PC的长. 试题解析：(1) 直线PC与圆O相切. 连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN. ∵AB//CD， ∴ÐBAC=ÐACD. ∵ÐBAC=ÐBNC， ∴ÐBNC=ÐACD. ∵ÐBCP=ÐACD， ∴ÐBNC=ÐBCP. ∵CN是圆O的直径， ∴ÐCBN=90°. ∴ÐBNC+ÐBCN=90°， ∴ÐBCP+ÐBCN=90°. ∴ÐPCO=90°，即PC^OC. 又∵点C在圆O上， ∴直线PC与圆O相切. (2) ∵AD是圆O的切线， ∴AD^OA，即ÐOAD=90°. ∵BC//AD， ∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC. ∴MC=MB. ∴AB=AC. 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM= = =6 . 设圆O的半径为r. 在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6 -r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2 +MC 2 =OC 2 ， ∴(6 -r) 2 +3 2 =r 2 . 解得r= . 在△OMC和△OCP中， ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP， ∴△OMC～△OCP. ∴ = ，即   = . ∴PC= .