Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足 4S= 3 ( a 2 + b 2

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足 4S= 3 ( a 2 + b 2 - c 2 ) ．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若 1+ tanA tanB = 2c b ，且 AB ? BC =-8 ，求c的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵根据余弦定理得a 2 +b 2 -c 2 =2abcosC，△ABC的面积 S= 1 2 absinC ， ∴由 4S= 3 ( a 2 + b 2 - c 2 ) 得 4× 1 2 absinC=2 3 abcosC ， 化简得sinC= 3 cosC，可得 tanC= sinC cosC = 3 ， ∵0＜C＜π，∴ C= π 3 ； （Ⅱ）∵ 1+ tanA tanB = 2c b ，∴ 1+ sinAcosB sinBcosA = cosAsinB+sinAcosB cosAsinB = 2c b ， 可得 sin(A+B) cosAsinB = 2c b ，即 sinC cosAsinB = 2c b ． ∴由正弦定理得 sinC cosAsinB = 2sinC sinB ，解得 cosA= 1 2 ，结合0＜A＜π，得A= π 3 ． ∵△ABC中， C= π 3 ，∴B=π-（A+B）= π 3 ， 因此， AB ? BC =- BA ? BC =-| BA |?| BC |cosB=- 1 2 c 2 ∵ AB ? BC =-8 ， ∴- 1 2 c 2 =-8，解之得c=4（舍负）．