Question

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e= ,过左焦点F 1 作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, =4. (1)

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e= ,过左焦点F 1 作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, =4. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.





Answer 1

（1） + =1  （2）2   (x+ ) 2 +y 2 =6,(x- ) 2 +y 2 =6

解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则 + =1,从而e 2 + =1, 又e= ,故b 2 = =8,从而a 2 ==16. 故该椭圆的标准方程为 + =1. (2)由椭圆的对称性,可设Q(x 0 ,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM| 2 =(x-x 0 ) 2 +y 2 =x 2 -2x 0 x+ +8×（1- ）= (x-2x 0 ) 2 - +8(x∈[-4,4]). 设P(x 1 ,y 1 ),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,当x=x 1 时|QM| 2 取最小值, 又x 1 ∈(-4,4),所以当x=2x 0 时|QM| 2 取最小值, 从而x 1 =2x 0 ,且|QP| 2 =8- . 由对称性知P′(x 1 ,-y 1 ),故|PP′|=|2y 1 |, 所以S= |2y 1 ||x 1 -x 0 | = ×2 |x 0 | = = · . 当x 0 =± 时,△PP′Q的面积S取得最大值2 . 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(± ,0),半径|QP|= = , 因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ ) 2 +y 2 =6,(x- ) 2 +y 2 =6.