Question

已知函数f（x）=x2+ax，常数a∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[2

已知函数f（x）=x2+ax，常数a∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x²，对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（x）=x2+

a

x

（a≠0，x≠0），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）；
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3?a

x2

；
∴x∈[2，+∞）时，

2x3?a

x2

≥0恒成立，即a≤2x³恒成立，2x³在[2，+∞）的最小值为16，∴a≤16；
∴a的取值范围是（-∞，16]．