已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an?an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an?an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1an2}与的前n项和为Tn，求证：n4...
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an?an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1an2}与的前n项和为Tn，求证：n4n+4＜Tn＜12．
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（Ⅰ）解：∵4Sn＝an?an+1，n∈N* ①，
∴4a1=a1?a2，
又a1=2，
∴a2=4．
当n≥2时，4Sn-1=an-1?an ②，
①-②得：4an=an?an+1-an-1?an，
由题意知an≠0，
∴an+1-an-1=4，
当n=2k+1，k∈N*时，a2k+2-a2k=4，
即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，
∴a2k=4+4（k-1）=4k=2×2k；
当n=2k，k∈N*时，a2k+1-a2k-1=4，
即a1，a3，…，a2k-1是首项为2，公差为4的等差数列，
∴a2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2×（2k-1）．
综上可知，an=2n，n∈N*；
（Ⅱ）证明：∵
＝
＞
＝
(
?
)，
∴Tn＝
+
+…+
＞
(1?
+
?
+…+
?
)
=
(1?
)＝
．
又∵
＝
＜
＝
＝
(
?
)
∴Tn＝
∴4a1=a1?a2，
又a1=2，
∴a2=4．
当n≥2时，4Sn-1=an-1?an ②，
①-②得：4an=an?an+1-an-1?an，
由题意知an≠0，
∴an+1-an-1=4，
当n=2k+1，k∈N*时，a2k+2-a2k=4，
即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，
∴a2k=4+4（k-1）=4k=2×2k；
当n=2k，k∈N*时，a2k+1-a2k-1=4，
即a1，a3，…，a2k-1是首项为2，公差为4的等差数列，
∴a2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2×（2k-1）．
综上可知，an=2n，n∈N*；
（Ⅱ）证明：∵
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| 4n2 |
| 1 |
| 4n(n+1) |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴Tn＝
| 1 |
| a12 |
| 1 |
| a22 |
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n+1 |
| n |
| 4n+4 |
又∵
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| 4n2 |
| 1 |
| 4n2?1 |
| 1 |
| (2n?1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Tn＝
| 1 |
| a12 |
