Question

数学高手帮忙啊!

某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器,彩电,冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下:
空调:工时:1/2,产值(千元):4
彩电:工时:1/3,产值:3
冰箱:工时:1/4,产值:2
问每周应生产空调,彩电,冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

Answer 1

本题昨天就作答了
但是之后一直觉得不对劲
今天给出全部思路，修改了的
这次应该完美

先给容易错误的一种做法
解法一、
空调:工时:1/2,产值(千元):4
彩电:工时:1/3,产值:3
冰箱:工时:1/4,产值:2
相当于
空调:工时:1,产值(千元):8
彩电:工时:1,产值:9
冰箱:工时:1,产值:8

同工时 做彩电最赚钱
那么正确答案就是
60台冰箱
其余全部彩电
由于有
产空调器,彩电,冰箱共360台,且冰箱至少生产60台
还剩下可用工时
120-60*1/4=105小时

由于生产彩电最划算
如果全部生产彩电需要（360-60）*1/3=100

105>100
还有5小时没用

显然方案可行
所以最后的结果是
空调0台
冰箱60台
彩电300台

最大产值
60*2+300*3=1020 千元

解法二、这个才是正确解法，注意和解法一有什么区别
不过针对5个小时没有用，考虑到全部利用问题
应该重新考虑,昨天也考虑了这个问题。不过因为时间的关系没有深究，太晚呢就睡觉了
（除去必须作冰箱的60台花去15个小时，还剩下105个小时，很重要这个条件是隐含的!）
空调:用X工时 产值(千元):8X
彩电:用Y工时 产值:9Y
冰箱:用（105-X-Y）工时 产值:8(105-X-Y)

要求8X+9Y+8(105-X-Y)最大
所以
最大产值的表达式S=840+Y+60*2=960+Y
也就是说
Y越大越好，
但是Y是有限制的
解法一就是这里除了问题，没有考虑到条件隐含的问题

就是生产空调器,彩电,冰箱共360台,且冰箱至少生产60台
2X+3Y+4(105-X-Y)=300
120=2X+Y

(其实这里都露掉了一个隐含条件X+Y小于等于105)

所以有
S=960+Y
Y=120-2X

S=1080-2X
所以我们可以认为是全部要做彩电
这个时候X=0好像就可以取到最大值
不过这个时候X=0 那么Y=120 这样与要生产360台矛盾，因为这个时候光电视就360台了，再加上冰箱60台 已经不符合题意了

这个时候就错了，我昨天也是犯了这个错误
因为还有一个条件忘记用了
X+Y<105（应该是X+Y小于等于105 不过符号打不出来，为什么？原因很简单，X+Y最大取105，一台冰箱都不生产，这个时候因为要是的产值最大，所以冰箱除了原来必须要生产的不再生产呢）
所以结合
2X+Y=120
X+Y<105那么
X>15(大于等于15）

所以在这个基础上
因为S=960+Y
Y能取得值越大那么产出就越大
这个时候就要X取最小值
所以X=15 Y=90
也就是
空调30台 15*2
冰箱60台 (105-15-90)*4+60
彩电270台 90*3

标准答案S=30*2+60*2+270*3=1050

Answer 2

应该生产彩电：270台，冰箱：60台，空调：30台。
理由：270台彩电需90工时，冰箱60台需15工时，30台空调需15工时。已回答的人，肯定是没管过生产的人。做为一个生产管理者来说“充分利用了工时，就是实现利润的最大化”。充分利用了工时，最终的产值是1050千元，可以多产值30千元。

Answer 3

运筹学中的最简单的问题。
空调:工时:1,产值(千元):8
彩电:工时:1,产值:9
冰箱:工时:1,产值:8
分析可得彩电300台，冰箱60台，不生产空调。

产值 1020千元。

Answer 4

应该是用导数算的,但现在脑子有点乱,整理不出思路来~`

Answer 5

（1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式
2^10(S30-S20)=S20-S10
(S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)
S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和，第二个十项之和
则有等比数列性质可知
(S30-S20)/(S20-S10)=q^10
q^10=2^(-10)
得出公比q=1/2
an=a1*q^(n-1)=2^(-n)
(2)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-2^(-n)
数列bn=nSn=n-n2^(-n）
命cn=n,dn=n2^(-n)
易知等差数列cn前n项和Tcn=n(1+n)/2
Tdn=1*2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+...+n2^(-n)
2Tdn=1*2^(0)+2*2^(-1)+3*2^(-2)+...+n2^(-n+1)
两式相减得Tdn=2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)-n2^(-n)
2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)为等比数列前n项和
易知2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)=2[1-2^(-n)]
则Tdn=2[1-2^(-n)]-n2^(-n)=2-(n+2)2^(-n)
所以Tn=Tcn-Tdn=n(1+n)/2-2+(n+2)2^(-n)