Question

向数学高手请教一道高等代数题

设V是n维欧几里得空间，内积记为(α,β)，设T是V上的一个正交变换，记V1={α|Tα=α},V2={β|β=α-Tα,α∈V}，证明：

①V1,V2都是V的子空间；

②V=V1⊕V2.

要详细过程，谢谢了

Answer 1

①验证一个线性空间的非空子集是子空间, 只需验证其对加法和数乘封闭.
对任意α, β ∈ V1, 有Tα = α, Tβ = β.
由T是线性变换, 有T(α+β) = Tα+Tβ = α+β, 故α+β ∈ V1.
又对任意k ∈ R, 由T是线性变换, 有T(kα) = k(Tα) = kα, 故kα ∈ V1.
因此V1是V的子空间.

对任意α, β ∈ V2, 存在γ, δ ∈ V, 使α = γ-Tγ, β = δ-Tδ.
由T是线性变换, 有α+β = γ-Tγ+δ-Tδ = (γ+δ)-T(γ+δ), 故α+β ∈ V2.
又对任意k ∈ R, 由T是线性变换, 有α = kγ-k(Tγ) = kγ-T(kγ), 故kα ∈ V2.
因此V2是V的子空间.

注: 实际上V1 = ker(T-I), V2 = im(I-T).
二者作为线性映射的核和像, 一定是线性子空间.

②本题的情形有点特殊, 可以证明V1是V2的正交补空间.
实际上, 对任意α ∈ V1, β ∈ V2, 有Tα = α, 并存在γ ∈ V使β = γ-Tγ.
于是(α,β) = (α,γ-Tγ) = (α,γ)-(α,Tγ) = (α,γ)-(Tα,Tγ).
由T是正交变换, (Tα,Tγ) = (α,γ), 故(α,β) = 0, 即V1中的向量都与V2正交.
V1 ⊆ V2的正交补.

反之, 设α ∈ V2的正交补.
由T是正交变换知其可逆, 可取β = T^(-1)α-α = T^(-1)α-T(T^(-1)α), 则有β ∈ V2.
而α ∈ V2的正交补, 故(α,β) = 0.
由Tβ = α-Tα, 得(Tα-α,Tα-α) = (Tα-α,-Tβ) = (α,Tβ)-(Tα,Tβ).
又由T是正交变换得(Tα,Tβ) = (α,β), 于是(Tα-α,Tα-α) = (α,Tβ)-(α,β) = -(α,β-Tβ).
由β-Tβ ∈ V2及α ∈ V2的正交补知(α,β-Tβ) = 0, 即(Tα-α,Tα-α) = 0, 故Tα-α = 0.
因此Tα = α, 即α ∈ V1.
V2的正交补 ⊆ V1.

综合得V1 = V2的正交补空间, 可知全空间V = V1⊕V2.