Question

已知椭圆的焦点是F1(0,-1),F2(0,1),点P是椭圆上一点且│F1F2│是│PF1│和│PF2│的等差中项求椭圆的方程

第二问才是我问的重点，动直线L:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M,n 是直线L上的两点，F1M垂直于L,F2N垂直于L,求四边形F1MNF2面积S的最大值

Answer 1

（1）c=1,4c=2a,a=2,b^=3,
∴椭圆方程是y^/4+x^/3=1.①
(2)把y=kx+m代入①，3[k^x^+2kmx+m^]+4x^=12,
(3k^+4)x^+6kmx+3m^-12=0,
△/4=9k^m^-(3k^+4)(3m^-12)
=-(12m^-36k^-48)=0,
∴m^=3k^+4,
F1M=|1+m|/√(k^+1),F2N=|m-1|/√(k^+1),MN=|2k|/√(k^+1),
∴S=(1/2)(F1M+F2N)MN=[|k|(|m+1|+|m-1|)]/(k^+1),
设w=|m+1|+|m-1|,则
w^=2m^+2=6k^+10,
∴S^=k^(6k^+10)/(k^+1)^=(t-1)(6t+4)/t^,记为f(t),t=k^+1>=1,
f(t)=6-2/t-4/t^,↑，f(+∞)→6，
∴S的最大值=√6.